Page 108 - MATINF Nr. 7
P. 108
˘
108 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI
2 1 2
Z Z
Prin urmare, xF(x) dx ≤ F(2) + xF(x) dx. Integrˆand prin p˘art , i, obt , inem
1 4 0
x 2 2 1 Z 2 1 x 2 2 1 Z 2
2
2
· F(x) − x f(x) dx ≤ F(2) + · F(x) − x f(x) dx ,
2 2 4 2 2
1 1 0 0
Z 2 Z 2
1 1 1 1 1
2
2
adic˘a 2F(2)− F(1)− x f(x) dx ≤ F(2)+ F(2)− x f(x) dx, adic˘a (F(2) − F(1)) ≤
2 2 1 2 8 0 2
Z 2 Z 2
1 1
ˆ
2
2
x f(x) dx − x f(x) dx. Inmult , ind cu 8 s , i t , inˆand cont c˘a F este primitiv˘a a lui f,
2 1 8 0
2
Z
deci F(2) − F(1) = f(x) dx, rezult˘a inegalitatea din enunt , .
1
Observat , ie. Problema se poate generaliza astfel: Dac˘a b > 0 s , i f : [0, b] → [0, ∞) este o
funct , ie derivabil˘a s , i cresc˘atoare, atunci pentru orice a ∈ (0, b) avem
2
2
ab Z b b Z b Z b
2
2
f(x) dx ≤ x f(x) dx − x f(x) dx.
b − a b − a
a a 0
M 143. Fie a, b, c s , i d numere reale nenegative. Ar˘atat ,i c˘a
É
q
X 3 abc + abd + acd + bcd
2
(a − b) + 4 ≥ a + b + c + d,
4
P 2 2 2 2 2 2 2
unde (a − b) = (a − b) + (a − c) + (a − d) + (b − c) + (b − d) + (c − d) .
Cˆand are loc egalitatea?
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
Solut ,ie. Putem presupune, f˘ar˘a a restrˆange generalitatea, c˘a a + b + c + d = 4. Cum
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4 ≤ a + b + c + d ≤ 16, atunci exist˘a t ∈ [0, 1] astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 4 (3t + 1). De
2
aici, ab + bc + cd + da + ac + bd = 6 (1 − t ). Utiliz˘am urm˘atorul rezultat.
Lem˘a (M 115, punctul a)). Fie a, b, c, d ≥ 0 astfel ˆıncˆat a + b + c + d = 4. Atunci
2
abc + abd + acd + bcd 3
16 + 8 ≥ 4 (ab + bc + cd + da + ac + bd) .
4
Mai mult, egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a = b = c = d = 1 sau a = b = 2, c = d = 0 s , i
permut˘arile lor.
É
√ abc + abd + acd + bcd
Inegalitatea de demonstrat se scrie ca t 3 + 3 ≥ 1. Conform Lemei,
2 4 É
abc + abd + acd + bcd 3 1 3 abc + abd + acd + bcd
2
≥ 1 − 3t . Dac˘a 0 ≤ t ≤ √ , atunci ≥
4 3 4
√ √ √ √ √
2
2
1 − 3t . Deci este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a t 3 + 1 − 3t ≥ 1, adic˘a 2t 3 1 − t 3 ≥ 0, ceea
É
1 √ abc + abd + acd + bcd √
ce este evident adev˘arat. Dac˘a √ ≤ t ≤ 1, atunci t 3 + 3 ≥ t 3 ≥ 1.
3 4
Demonstrat , ia este complet˘a. Cum M 115 implic˘a inegalitatea curent˘a, atunci aceasta nu poate
avea cazuri suplimentare de egalitate. Remarc˘am c˘a aceleas , i cazuri de la M 115 au loc s , i aici.
ˆ
In concluzie, egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a a = b = c = d sau (a, b, c, d) = (k, k, 0, 0) s , i
permutarile sale, k > 0.
