Page 112 - MATINF Nr. 7

˘
112 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a X-a

n n
P P x i
M 170. Fie 0 ≤ x 1 , x 2 , . . . , x n < 1, n ≥ 3 astfel ˆıncˆat x i = 1 s , i ≤ 2.
i=1 i=1 1 − x i
Demonstrat , i c˘a

" # ! 2
n n
X x 2 n X x i n
(n − 2) i − ≥ (2n − 1) − .
(1 − x i ) 2 (n − 1) 2 1 − x i n − 1
i=1 i=1
Cˆand are loc egalitatea?

Vasile Cˆırtoaje, Ploies , ti s , i Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

M 171. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor reale ecuat , ia

1
55 − 9 x 50
= .
1 x
5 + 9 x 1 + 5
Sorin Ulmeanu, Pites , ti

M 172. Dac˘a a, b, c, d ∈ (0, 1) sau a, b, c, d ∈ (1, ∞), demonstrat , i c˘a

log b + log c + log d + log a ≥ 8 .
c
d
a
b
c + d d + a a + b b + c a + b + c + d
Dorin M˘arghidanu, Corabia

M 173. Pentru orice num˘ar natural n ∈ N, ar˘atat , i c˘a

(2 2021 · n)! ∗
∈ N .
n! · (n + 1)! · (2n + 1)! · (4n + 1)! · (8n + 1)! · . . . · (2 2020 · n + 1)!

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

M 174. Fie ABC un triunghi s , i fie D s , i E dou˘a puncte situate pe laturile (AC), respectiv
(AB). Consider˘am dou˘a puncte distincte M s , i N situate pe segmentul (DE). Not˘am cu x, y s , i
z distant , ele de la punctul M la dreptele BC, CA, respectiv AB. Analog, not˘am cu u, v s , i w
distant , ele de la punctul N la dreptele BC, CA, respectiv AB.

Demonstrat , i c˘a dac˘a x = y + z s , i u = v + w, atunci BD s , i CE sunt bisectoarele interioare
din B, respectiv C ale triunghiului ABC.

Dan S , tefan Marinescu, Hunedoara