Page 111 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 111

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

M 165. Se consider˘a s , irul (x n ) astfel ˆıncˆat x 1 = 1 s , i
n≥1
√ p
√ x n + x n + 4x 2 n
x n+1 = , ∀ n ≥ 1.
2

Demonstrat , i c˘a (x n ) este cresc˘ator, nem˘arginit s , i
n≥1

n
X 1 1
< , ∀ n ≥ 1.
x k x k+1 2
k=1

Cristinel Mortici, Viforˆata

M 166. Fie d 1 < d 2 < . . . < d k divizorii naturali ai unui num˘ar natural n ≥ 2. Ar˘atat , i c˘a:
 ‹
d 2 d 3 d k
a) (n − 1) + + . . . + ≥ (k − 1)(n − 1) + d 1 + d 2 + . . . + d k−1 ;
d 1 d 2 d k−1
b) (n − 1) k−1 d k ≥ (n − 1 + d 1 )(n − 1 + d 2 ) · . . . · (n − 1 + d k−1 ).

Mih´aly Bencze, Bras , ov

M 167. Fie a, b, c, d > 0 astfel ˆıncˆat abcd = 1. Demonstrat , i c˘a
 ‹
1 1 1 1
(a + b + c + d) 3 + + + ≥ 16.
3
3
3
3
a + 15 b + 15 c + 15 d + 15
Marin Chirciu s , i Octavian Stroe, Pites , ti

M 168. Fie ABC un triunghi s , i M mijlocul laturii AC. Consider˘am punctul D pe dreapta
BC astfel ˆıncˆat B este situat ˆıntre C s , i D, iar BD = AB. Dac˘a dreapta DM intersecteaz˘a
bisectoarea unghiului B ˆın punctul E, s˘a se calculeze unghiul ^EAB ˆın funct , ie de unghiurile
triunghiului ABC.

Titu Zvonaru, Com˘anes , ti

◦
◦
M 169. Demonstrat , i c˘a numerele sin 2021 s , i cos 2021 sunt irat , ionale.
* * *