Page 113 - MATINF Nr. 7

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 113

Clasa a XI-a

„ Ž
1 2 1
M 175. Se consider˘a matricea A = 0 −2 −4 . Calculat , i A 2021 .
−1 0 1

* * *
ˆ ’
a b c d 0
k l m 0 −d
M 176. Fie matricea A = n p 0 −m −c ∈ M 5 (Z).
q 0 −p −l −b
0 −q −n −k −a

a) Ar˘atat , i c˘a dac˘a produsul abcdklmnpq nu se divide cu 4, atunci rang (A) = 4.
b) R˘amˆane afirmat , ia adev˘arat˘a dac˘a produsul abcdklmnpq nu se divide cu 8?

Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

M 177. Fie a > 0 un num˘ar real fixat s , i fie s , irul (x n ) n≥1 definit prin

x 1 = a s , i x n = n (a + x n−1 ) , ∀ n ≥ 2.

 ‹ ‹  ‹
a a a
Calculat , i lim 1 + 1 + · . . . · 1 + .
n→∞ x 1 x 2 x n

Marin Chirciu, Pites , ti

M 178. Fie a, b, c ∈ (0, 1). Demonstrat , i c˘a

c
a
b

(a + b)(b + c)(c + a) a + c (b + a) (c + b) > a 1−bc · b 1−ca · c 1−ab .
Dorin M˘arghidanu, Corabia
n(n − 1)
P
M 179. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n > 0, n ≥ 3 astfel ˆıncˆat a i a j > .
1≤i<j≤n 2
2
a) Demonstrat , i c˘a dac˘a < β ≤ 1, atunci
n

! β ! 2
n n n
X Y X
2
(n − 1) a + n a i > a i . (∗)
i
i=1 i=1 i=1
 ˜
2
b) Ar˘atat , i c˘a dac˘a β ∈ −∞, ∪ (1, +∞), atunci inegalitatea (∗) nu este ˆıntotdeauna
n
adev˘arat˘a.
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin