Page 34 - MATINF Nr. 3

Ecuatia claselor. O aplicatie
,
,

Victor Alexandru 1 s , i Stelian Corneliu Andronescu 2

ˆ
In cele ce urmeaz˘a prezent˘am succint relat , ia de conjugare ˆıntr-un grup (G, ·), relat , ie care, ˆın
cazul grupurilor finite, conduce la ecuat , ia claselor asociat˘a. Urmˆand un enunt , prezent ˆın [4]
ar˘at˘am c˘a ecuat , iile de acest tip, avˆand un num˘ar dat de termeni, au un num˘ar finit de solut , ii
cu numere naturale nenule.
Ca aplicat , ie se obt , ine c˘a exist˘a doar un num˘ar finit de grupuri finite neizomorfe avˆand un
num˘ar dat de clase de conjugare (fapt ment , ionat de asemenea ˆın [2] s , i atribuit lui Landau).

1. Fie (G, ·) un grup s , i x, y ∈ G. Dac˘a exist˘a a ∈ G astfel ˆıncˆat x = aya −1 spunem c˘a x s , i y
sunt elemente conjugate (ˆın G) s , i not˘am x ∼ y. Se verific˘a us , or c˘a relat , ia ,,∼” este reflexiv˘a,
simetric˘a, tranzitiv˘a, adic˘a este o relat , ie de echivalent , ˘a pe G.

Clasa de echivalent , ˘a a unui element x, numit˘a ˆın acest caz clasa de conjugare a lui x, este
−1
[x] = {axa |a ∈ G}. Evident clasa [x] are ca unic element pe x dac˘a s , i numai dac˘a x comut˘a cu
orice a ∈ G, adic˘a x se afl˘a ˆın subgrupul Z(G), centrul lui G. Notˆand C(x) := {a ∈ G|ax = xa},
−1
subgrupul lui G denumit centralizatorul lui x, atunci avem axa −1 = bxb −1 ⇔ b a ∈ C(x), adic˘a
a s , i b sunt congruente la stˆanga modulo C(x).
ˆ
In consecint , ˘a, dac˘a G este grup finit atunci clasa de conjugare a lui x, [x], cont , ine
exact [G : C(x)] elemente. Se noteaz˘a astfel indicele subgrupului C(x) ˆın G s , i avem atunci
|G| = |C(x)|[G : C(x)], conform Teoremei lui Lagrange. Deoarece clasele de conjugare constituie
o partit , ie a lui G, se obt , ine urm˘atoarea teorem˘a:

Fie (G, ·) un grup finit s , i x 1 , . . . , x n un sistem de reprezentant , i pentru clasele de conjugare
netriviale din G. Atunci

|G| = |Z(G)| + [G : C(x 1 ))] + · · · + [G : C(x n ))].

Se observ˘a c˘a, ˆın acest caz, grupul G are n + |Z(G)| clase de conjugare, dintre care exact
|Z(G)| constau dintr-un singur element. Mai observ˘am de asemenea c˘a, deoarece termenii din
partea dreapt˘a a ecuat , iei claselor sunt divizori ai lui |G| ecuat , ia se poate rescrie
1 1 1
1 = + + · · · +
|G : Z(G)| |C(x 1 )| |C(x n )|

sau ˆınc˘a sub forma
1 1 1
X
1 = + + · · · + , (∗)
|G| |C(x 1 )| |C(x n )|
P 1
unde suma are |Z(G)| termeni s , i astfel ˆın partea dreapt˘a a egalit˘at , ii avem |Z(G)| + n
|G|
termeni, adic˘a num˘arul claselor de conjugare din G. Egalitatea (∗) se numes , te ecuat , ia claselor
atas , at˘a grupului G.

1
Prof. univ. dr., Universitatea din Bucures , ti, vralexandru@yahoo.com
2
Lect. univ. dr., Universitatea din Pites , ti, corneliuandronescu@yahoo.com
34