Page 35 - MATINF Nr. 3

Ecuat , ia claselor. O aplicat , ie 35

ˆ
2. In [4] se propune spre demonstrare urm˘atorul enunt , :
s
P 1
Pentru orice s ≥ 1 ecuat , ia 1 = are un num˘ar finit de solut , ii ˆın N.
x i
i=1
Metoda de demonstrare ˆıncepe prin a considera enunt , ul mai general: Pentru orice s ≥ 1
s
P 1
s , i orice a ∈ Q + ecuat , ia a = are un num˘ar finit de solut , ii ˆın N, enunt , care admite o
x i
i=1
demonstrat , ie prin induct , ie dup˘a s ≥ 1.
Pentru s = 1 avem a = 1 , ecuat , ie ce admite (pentru a fixat) cel mult o solut , ie ˆın N.
x 1
Fie acum s ≥ 2 s , i x 1 , x 2 , . . . , x s solut , ie ˆın N cu 1 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x s . Atunci 1 ≥ 1 ≥
x 1 x 2
s
s
. . . ≥ 1 de unde s ≥ P 1 = a, deci x 1 ≤ , adic˘a x 1 poate lua cel mult s valori ˆın N.
x s x 1 x i a a
i=1
s
Pentru fiecare x 1 ≤ s avem a − 1 = P 1 , o ecuat , ie de acelas , i tip cu cele init , iale dar cu
a x 1 x i
i=2
s − 1 variabile. Conform ipotezei de induct , ie, o astfel de ecuat , ie are cel mult un num˘ar finit de
solut , ii x 2 ≤ x 3 ≤ . . . ≤ x s ˆın N. Deoarece chiar num˘arul acestor posibile ecuat , ii este m˘arginit
de s obt , inem demonstrat , ia prin induct , ie dup˘a s ≥ 1.
a
Observat ,ia 1. Dac˘a x 1 ≤ x 2 ≤ . . . ≤ x s este o solut , ie ˆın N a unei ecuat , ii de tipul considerat
s , i care provine de la o ecuat , ie (∗) a claselor atas , at˘a unui grup G atunci x s = |G|; mai mult,
ultimele |Z(G)| dintre x i sunt egalele lui |G| iar toate celelalte sunt divizori proprii pentru |G|.

s
P 1
Pe de alt˘a parte nu orice ecuat , ie de forma 1 = ale c˘arei solut , ii ˆın N verific˘a asemenea
x i
i=1
condit , ii de divizibilitate provine de la o ecuat , ie a claselor de forma (∗). Un exemplu simplu este
1
1
chiar 1 = 1 + + . Dac˘a ar proveni de la ecuat , ia claselor de conjugare ale unui grup G, atunci
4 4 2
1
1
|G| = 4 s , i G ar fi grup comutativ. Atunci ecuat , ia (∗) trebuie s˘a fie 1 = 1 + + + 1 deoarece
4 4 4 4
C(x) = G pentru orice x ∈ G.
3. Aplicat , ie: Pentru orice s ≥ 1 exist˘a un num˘ar finit de grupuri finite neizomorfe G avˆand
exact s clase de conjugare.
ˆ
Intr-adev˘ar conform celor demonstrate la punctul 2 exist˘a doar un num˘ar finit de posibilit˘at , i
pentru ordinul unui astfel de grup. Este ˆıns˘a binecunoscut c˘a pe o mult , ime finit˘a cu cardinalul
dat n se pot defini doar un num˘ar finit de structuri de grup. De fapt chiar num˘arul operat , iilor
2
n
algebrice binare este limitat la n .
s
ˆ P 1 e unde p este num˘ar prim.
In final vom lua ˆın considerare ecuat , ii de forma (∗) 1 =
p i
i=1
Astfel de ecuat , ii apar ˆın mod natural legate de ecuat , ia claselor de conjugare ˆıntr-un p-grup finit
ˆ
n
G, adic˘a un grup finitt avˆand |G| = p , n ≥ 1. In acest caz este clar c˘a forma (∗) a ecuat , iei
claselor este cea considerat˘a. Este us , or de constatat c˘a dac˘a e 1 ≤ . . . ≤ e s s , i k este num˘arul
ˆ
acelor indici pentru care e i = e s atunci p divide k. In fapt ˆın cazul ecuat , iei claselor se obt , ine c˘a
l
|Z(G)| se divide cu p s , i conform teoremei lui Lagrange avem |Z(G)| = p ; 1 ≤ l ≤ e s .
s
P 1
Prin urmare dac˘a ecuat , ia 1 = e provine de la ecuat , ia claselor asociat˘a unui p-grup finit
p i
i=1
l
G, avˆand s clase de conjugare, atunci k = |Z(G)| = p .
Pare a prezenta un anumit interes urm˘atorul exercit , iu: Pornind de la o ecuat , ie de forma
s
P 1
1 = e cu s dat, s˘a se determine e s = max e i (ˆın situat , ia c˘a avem k egal cu o putere
p i
i=1 1≤i≤s