Page 36 - MATINF Nr. 3

36 V. Alexandru, S.C. Andronescu

supraunitar˘a a lui p) sau, cel put , in, o majorare convenabil˘a pentru e s . De remarcat c˘a nu
ˆın mod necesar un asemenea e s este astfel ˆıncˆat p = |G| pentru un p-grup avˆand s clase de
e s
1
1
conjugare. De exemplu pentru s = 4 avem 1 + + + 1 = 1 dar aceast˘a egalitate nu provine
2 4 8 8
ˆ
3
de la ecuat , ia claselor unui grup cu 2 = 8 elemente. Intr-adev˘ar un asemenea G n-ar putea
3
fi comutativ s , i pe de alt˘a parte un grup necomutativ cu 2 elemente are exact cinci clase de
conjugare. Se s , tie c˘a ˆın acest caz avem G ' D 4 , grupul diedral al simetriilor p˘atratului,
2
2
3
3
4
3
2
D 4 = {1, x, x , x , y, xy, x y, x y} cu x = y = 1 s , i x y = yx,
sau G = C 8 , grupul cuaternionilor,
2
2
2
C 8 = {±1, ±i, ±j, ±k} cu i = j = k = −1 s , i ijk = −1.
1
1
1
Spre exemplu ecuat , ia 1 + + + + 1 = 1 corespunde ecuat , iei claselor din D 4 s , i C 8 .
8 8 4 4 4
3
2
Observat ,ia 2. Este cunoscut faptul c˘a un p-grup necomutativ cu p elemente are exact p + p − 1
clase de conjugare [1].
Bibliografie
[1] M. Becheanu, C. Vraciu, Probleme de teoria grupurilor, Editura Universit˘at , ii din Bucures , ti,
1982.

[2] J. Rose, A Course on Group Theory, Cambridge Univ. Press, 1978.

[3] T. Dumitrescu, Algebra 1, Editura Universit˘at , ii din Bucures , ti, 2006.

[4] W. Sierpinski, 250 Problems in Elementary Number Theory, Elsevier, 1970.