Page 20 - MATINF Nr.2

20 M. Chirciu

ˆ
Aplicat , ia 4. In 4ABC avem
x 4 y 4 z 4 2 1 4
(p − a) + (p − b) + (p − c) ≥ 2rp (4R − r) − p , unde x, y, z > 0.
y + z z + x x + y 2

Marin Chirciu, Pites , ti
Solut , ie: Avem

x Ç x å X x + y + z
X 4 X 4 4 X 4
(p − a) = + 1 − 1 (p − a) = (p − a) − (p − a)
y + z y + z y + z
2 2
Ä ä
2
2
P 2
Bergstrom (p − a) X 4 (p − 2r − 8Rr)
≥ (x + y + z) − (p − a) = (x + y + z) −
P
(y + z) 2 (x + y + z)
1
2
4
2
2
2
Ä 2 ä Ä ä 2 Ä 2 ä
2
2
4
− p − 16p Rr + 2r (4R + r) = p − 2r − 8Rr − p − 16p Rr + 2r (4R + r)
2
1
4
2
= 2rp (4R − r) − p .
2
Mai sus am folosit identit˘at , ile cunoscute ˆın triunghi:
2 4 2
(p − a) = p − 2r − 8Rr s , i (p − a) = p − 16p Rr + 2r (4R + r) .
P 2 2 P 4 2 2
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
Aplicat , ia 5. In 4ABC avem
x 2 y 2 z 2
2
2
2
2
a (p − a) + b (p − b) + c (p − c) ≥ 2S , unde x, y, z > 0.
y + z z + x x + y
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut , ie: Avem
x Ç x å X x + y + z
X 2 2 X 2 2 2 2 X 2 2
a (p − a) = + 1 − 1 a (p − a) = a (p − a) − a (p − a)
y + z y + z y + z
Bergstrom ( P a (p − a)) 2 X 2
2
≥ (x + y + z) − a (p − a)
P
(y + z)
2
(2r (4R + r)) î Ä 2 äó
= (x + y + z) − 2r 2 (4R + r) − p 2 =
2 (x + y + z)
2
2
2
2 2
î
2
= 2r (4R + r) − 2r 2 Ä (4R + r) − p 2 äó = 2r p = 2S .
Mai sus am folosit identit˘at , ile cunoscute ˆın triunghi:
a (p − a) = 2r (4R + r) s , i a (p − a) = 2r (4R + r) − p .
P P 2 2 2 î 2 2 ó
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
Aplicat , ia 6. In 4ABC avem
x 2 y 2 z 2
2
2
2
2
a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) ≥ 32S , unde x, y, z > 0.
y + z z + x x + y
Marin Chirciu, Pites , ti