Page 19 - MATINF Nr.2

Dezvolt˘ari din RMM, Winter 2017 19

Observat ,ia 1. Condit , ia m > 0 nu este necesar˘a.
√
2
2
2
Pentru m = 0 se obt , ine a + b + c ≥ 4 3S (Ionescu (1897) – Weitzenb¨ock (1919)).
P abc √
Pentru m = −1 se obt , ine ≥ 2 3S.
b + c
2 2
P b c √
Pentru m = −2 se obt , ine ≥ 2 3S.
2
b + c 2
ˆ
In aceeas , i clas˘a de inegalit˘at , i:
ˆ
Aplicat , ia 2. In 4ABC avem
x y z
4
2
4
4
a + b + c ≥ 8S , unde x, y, z > 0.
y + z z + x x + y
Crux Mathematicorum 11/1986, George Tsintsifas, Greece
Solut , ie: Avem
x Ç x å X x + y + z
X 4 X 4 4 X 4
a = + 1 − 1 a = a − a
y + z y + z y + z
2 2
Bergstrom ( P a ) X
≥ − a 4
(x + y + z) P
(y + z)
2 2
2 2
( P a ) X 1 ÄX ä 2 X 2 P b c − P a 4
4
4
= (x + y + z) − a = a 2 − a =
2 (x + y + z) 2 2
î 2 ó î 2 ó
4
4
2
2
2
2
2
2
2 p + p (2r − 8Rr) + r (4R + r) − 2 p − p (8Rr + 6r ) + r (4R + r)
=
2
2 2
2
= 8r p = 8S .
Mai sus am folosit identit˘at , ile cunoscute ˆın triunghi:
b c = p + p (2r − 8Rr) + r (4R + r) s , i a = 2 p − p (8Rr + 6r ) + r (4R + r) .
P 2 2 4 2 2 2 2 P 4 î 4 2 2 2 2 ó
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
Aplicat , ia 3. In 4ABC avem
x 2 y 2 z 2 1 2
(p − a) + (p − b) + (p − c) ≥ 2r (4R + r) − p , unde x, y, z > 0.
y + z z + x x + y 2
Marin Chirciu, Pites , ti
Solut , ie: Avem
x Ç x å X x + y + z
X 2 X 2 2 X 2
(p − a) = + 1 − 1 (p − a) = (p − a) − (p − a)
y + z y + z y + z
2 2
P
Bergstrom ( (p − a)) X 2 (p) Ä ä
2
2
≥ (x + y + z) − (p − a) = (x + y + z) − p − 2r − 8Rr
(y + z) 2 (x + y + z)
P
1 Ä ä Ä ä 1
2
2
2
2
2
= p − p − 2r − 8Rr = 2 r + 4Rr − p .
2 2
Mai sus am folosit identit˘at , ile cunoscute ˆın triunghi:
2
(p − a) = p s , i (p − a) = p − 2r − 8Rr.
P P 2 2
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.