Page 18 - MATINF Nr.2

˘
ARTICOLE SI NOTE DE MATEMATICA
,

Dezvolt˘ari din RMM, Winter 2017

Marin Chirciu 1

Articolul ˆıs , i propune ca, pornind de la Problema JP. 105, Winter Edition 2017 din
Romanian Mathematical Magazine, sub semn˘atura D.M. B˘atinet , u-Giurgiu, Romˆania
s , i Martin Lukarevski, Macedonia, s˘a prezinte probleme din aceeas , i clas˘a de inegalit˘at , i.
ˆ
Aplicat , ia 1 (Problema JP. 105). In 4ABC avem

a m+2 b m+2 c m+2 √
+ + ≥ 2 3S, unde m > 0.
m
m
m
b + c m c + a m a + b m
Folosim rezultatul ajut˘ator:
ˆ
Lema 1. In 4ABC avem
x y z √
2
2
2
a + b + c ≥ 2 3S, unde x, y, z > 0.
y + z z + x x + y
G.Tsintsifas, Greece

x Ç x å P x + y + z
2
2
2
Demonstrat¸ie. Avem P a = P + 1 − 1 a = a − P a 2
y + z y + z y + z
2 2
P
Bergstrom ( a) X (2p) Ä ä
2
2
2
≥ − a = (x + y + z) − 2 p − r − 4Rr
(x + y + z) P
(y + z) 2 (x + y + z)
2
ä
Ä
ä
2
2
Ä
2
= 2p − 2 p − r − 4Rr = 2 r + 4Rr .
Mai sus am folosit identit˘at , ile cunoscute ˆın triunghi:
X X 2 Ä 2 2 ä
a = 2p s , i a = 2 p − r − 4Rr .
√ √ √
2
2
R˘amˆane s˘a ar˘at˘am c˘a 2 (r + 4Rr) ≥ 2 3S ⇔ r + 4Rr ≥ 3rp ⇔ 4R + r ≥ p 3, care este
inegalitatea lui Doucet.
Egalitatea are loc dac˘a s , i numai dac˘a triunghiul este echilateral.
ˆ
Solut , ia Aplicat , iei 1: Inlocuind ˆın Lema 1
m
m
x = a , y = b , z = c m
obt , inem inegalitatea din Problema JP. 105.
1
Profesor, Colegiul Nat , ional ,,Zinca Golescu”, Pites , ti, marin.chirciu@yahoo.com
18