Page 116 - MATINF Nr. 13-14

116 M.N. Popescu

este un num˘ar natural, deci factorii numitorului divid num˘ar˘atorul. Numerele prime din
{m + 2, . . . , 2m + 1} sunt printre factorii num˘ar˘atorului, nu s , i ai numitorului, deci divid C m ,
2m+1
astfel
Y m
p divide C .
2m+1
m+1<p≤2m+1
p prim
m+1
m
Avem C 2m+1 = C 2m+1 , si
C m + C m+1 C 0 + C 1 + . . . + C 2m+1 (1 + 1) 2m+1 2 2m+1
m
C m = 2m+1 2m+1 ≤ 2m+1 2m+1 2m+1 = = = 4 ,
2m+1
2 2 2 2
m
m
astfel C 2m+1 ≤ 4 .
17. d. Avem
Å ãÅ ã
Y Y Y
p = p p ,
p≤2m+1 p≤m+1 m+1<p≤2m+1
p prim p prim p prim
din pasul de induct , ie
Y
p ≤ 4 m+1 ,
p≤m+1
p prim
iar din punctul 17.c
Y
m
p ≤ 4 ,
m+1<p≤2m+1
p prim
deci
Y 2m+1
p ≤ 4 .
p≤2m+1
p prim

18. ν p (n) este puterea lui p din descompunerea ˆın factori primi distinct , i a lui n, prin urmare

ν p (n · m) = ν p (n) + ν p (m) ,

deci
ν p (n!) = ν p (1) + ν p (2) + . . . + ν p (n) .

ˆ
Imp˘art , im mult , imea numerelor naturale ˆın grupe de cˆate p elemente
kp, kp + 1, . . . , kp + (p − 1) , pentru k ≥ 0.

Atunci n va fi cont , inut de grupul pentru care

® Ä ä
n
E , dac˘ n ≥ p
a
k = p
0, dac˘ n < p
a
(aici E (x) reprezint˘a partea ˆıntreag˘a a lui x). Pe o astfel de grup˘a ν p (kp) = 1 + ν p (k),
ν p (kp + 1) = . . . = ν p (kp + (p − 1)) = 0, ∀k ≥ 0 (cu except , ia lui ν p (0) care nu este necesar).
ˆ
In concluzie

E(n/p) ® Ä Ä ä ä Ä ä
 P (ν p (k) + 1), dac˘ n ≥ p ν p E n ! + E n , dac˘ n ≥ p
a
a
ν p (n!) = = p p .
k=1
a
a
0, dac˘ n < p
 0, dac˘ n < p