Page 112 - MATINF Nr. 13-14

112 M.N. Popescu

13. b. Rescriem relat , ia anterioar˘ sub forma
a
n n n n n !
1 X 1 X X X 1 X 1
2
k s (n, k) = k s (n, k) + − ;
n! n! ij i 2
k=1 k=1 i=1 j=1 i=1
n
X s (n, k)
la punctul 12 am g˘asit M (X n ) = k · , prin urmare
n!
k=1
n n n n !
1 X X X 1 X 1
2
k s (n, k) = M (X n ) + − .
n! ij i 2
k=1 i=1 j=1 i=1
14. a. Avem
n
n
1 X 2 1 X X 1 X
2
2
ω(σ) = k = k s (n, k)
n! n! n!
σ∈S n k=1 σ∈S n k=1
ω(σ)=k
s , i, cu punctul 13.b,
n n n !
1 X 2 X X 1 X 1
ω(σ) = M (X n ) + − . (1)
n! ij i 2
σ∈S n i=1 j=1 i=1

Din punctul 12 avem
1
Å ã
M (X n ) = ln (n) + γ + O ,
n→∞ n
adic˘ ∃C 0 > 0 s , i n 0 ∈ N astfel ca
a
1
|M (X n ) − [ln (n) + γ]| ≤ C 0 · , ∀n ≥ n 0 ,
n

adic˘
a
1 1
−C 0 · + [ln (n) + γ] ≤ M (X n ) ≤ [ln (n) + γ] + C 0 · , ∀n ≥ n 0 . (2)
n n
Din enunt , avem
n Å ã
1 1
X
= ln (n) + γ + O ,
i n→∞ n
i=1
deci ∃C 1 > 0 s , i n 1 ∈ N astfel ca

n
1 X 1 1
−C 1 · + [ln (n) + γ] ≤ ≤ [ln (n) + γ] + C 1 · , ∀n ≥ n 1 .
n i n
i=1
Putem considera termenul din stˆanga pozitiv (avˆand limita +∞) s , i ridic˘am la p˘atrat

n ! 2
ln (n) 1 1 X 1 1
2
2
2
2
−2C 1 · − 2C 1 γ · + C · + [ln (n) + γ] ≤ ≤ [ln (n) + γ] + C ·
n n 1 n 2 i 1 n 2
i=1
1 ln (n)
+ 2C 1 γ · + 2C 1 · , ∀n ≥ n 1 ;
n n