Page 111 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 111

Ç å
k
Forma matriceal˘a a variabilei aleatoare X n este X n : s(n,k) .
n! k=1,n
Media variabilei aleatoare X n este

n n
X X s (n, k)
M (X n ) = k · P (X n = k) = k · .
n!
k=1 k=1
Prin derivarea relat , iei de la punctul 11 obt , inem

" #
n−1 n−1 n
Y X 1 X
(x + i) = k · s (n, k) x k−1 ,
x + i
i=0 i=0 k=1
care, pentru x = 1, d˘
a
n n
X 1 X
n! · = k · s (n, k).
i
i=1 k=1
Revenim ˆın expresia mediei variabilei aleatoare X n s , i obt , inem

n
1
X
M (X n ) = .
k
k=1
Astfel relat , ia
Å ã
1
M (X n ) = ln (n) + γ + O
n→∞ n
este echivalent˘a cu relat , ia
n Å ã
1 1
X
= ln (n) + γ + O ,
k n→∞ n
k=1
dat˘ ca adev˘arat˘a ˆın enunt , .
a
13. a. Deriv˘am de dou˘a ori relat , ia de la punctul 11 s , i obt , inem

" ! !# 0
n n−1 n−1
X k−2 Y X 1
s (n, k) k (k − 1) x = (x + i)
x + i
k=2 i=0 i=0
n−1 n−1 n−1 n−1
! ! 2 !
Y X 1 Y X −1
= (x + i) + (x + i) .
x + i (x + i) 2
i=0 i=0 i=0 i=0
Pentru x = 1 relat , ia anterioar˘ devine
a
n n ! 2 n
X X 1 X 1
s (n, k) k (k − 1) = n! · − n! · ,
i i 2
k=2 i=1 i=1
deci
n n n n
1 X X X 1 X 1
k (k − 1) s (n, k) = − .
n! ij i 2
k=1 i=1 j=1 i=1