Page 115 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 115

= a 2 [b (n) − b (2)] + a 3 [b (n) − b (3)] + . . . + a n−1 [b (n) − b (n − 1)]
= (a 2 + a 3 + . . . + a n−1 ) b (n) − [a 2 b (2) + a 3 b (3) + . . . + a n−1 b (n − 1)]

= (a 2 + a 3 + . . . + a n ) b (n) − [a 2 b (2) + a 3 b (3) + . . . + a n b (n)]
n
X
= A (n) b (n) − a k b (k).
k=2

17. a. Avem de verificat c˘ inegalitatea
a
Y n
p < 4
p≤n
p prim
a
este adev˘arat˘ pentru n ∈ {1, 2, 3}

a
• Dac˘ n = 1, avem
Y Y 1
p = p = 1 ≤ 4 .
p≤1 p∈Ø
p prim
a
• Dac˘ n = 2, avem ca divizor prim pe 2 s , i astfel
Y 2
p = 2 < 4 .
p≤2
p prim
a
• Dac˘ n = 3, avem ca divizori primi pe 2 s , i 3 s , i astfel
Y 3
p = 2 · 3 < 4 .
p≤3
p prim

Q k
17. b Conform enunt , ului putem considera inegalitatea p < 4 adev˘arat˘a pentru
p≤k
p prim
Q n
k ∈ {1, . . . , n − 1} s , i se cere s˘a demonstr˘am c˘a p < 4 pentru n un num˘ar par. Pentru
p≤n
p prim
n = 2k, cu k ∈ {1, . . . , n − 1}, avem c˘ divizorii primi ai lui n sunt 2 s , i divizorii primi ai lui k,
a
de aici, cu ipoteza f˘acut˘a,
Y k
p < 4
p≤k
p prim
s , i
Y Y
a
a
p ≤ 2 p (≤ deoarece 2 poate s˘ divid˘ s , i pe k),
p≤n p≤k
p prim p prim
deci
Y k 2k n
p ≤ 2 · 4 ≤ 4 = 4 .
p≤n
p prim
17. c. Num˘arul

(2m + 1) ! (m + 2) (m + 3) · . . . · (2m + 1)
m
C 2m+1 = =
m! · (m + 1) ! 1 · 2 · . . . · m