Page 121 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 121

l 0 l−1
1 X ln (p j ) 1 X ln (p j ) X 1
= − + +
ln (p l ) p j ln (p 0 ) p j p k+1
j=0 j=0 k=0
l l
1 X ln (p j ) 1 X ln (p j )
− + − ln 2 (n) + ln 2 (2)
ln (n) p j ln (p l ) p j
j=0 j=0
l l
X 1 1 X ln (p j )
= − − ln 2 (n) + ln 2 (2) .
p k ln (n) p j
k=0 j=0
1
Dac˘a n este prim, ad˘aug˘am/sc˘adem pentru prima/a doua sum˘a. Astfel, pentru orice n
n
(prim sau nu) avem

n
R (t) X 1 1 X ln (p)
Z
dt = − − ln 2 (n) + ln 2 (2)
2
t(ln (t)) p ln (n) p
2 p≤n p≤n
p prim p prim
X 1 1 ï X ln (p) ò
= − − ln (n) − 1 − ln 2 (n) + ln 2 (2)
p ln (n) p
p≤n p≤n
p prim p prim
1 R (n)
X
= − − 1 − ln 2 (n) + ln 2 (2) ,
p ln (n)
p≤n
p prim
deci
n
Z
X 1 R (n) R (t)
= 1 + ln 2 (n) − ln 2 (2) + + dt.
p ln (n) t(ln (t)) 2
p≤n 2
p prim
20. b. Funct , ia R(t) este continu˘ pe port , iuni. Cu punctul 19.d, ∃C > 0 astfel ca |R (t)| ≤ C,
a
∀t ≥ 2, prin urmare

C

≤ , ∀t ≥ 2.
R (t)
2 2
t(ln (t)) t(ln (t))

Cum integrala
∞

C −C C
Z ∞
dt = =
2
t(ln (t)) ln (t) 2 ln (2)
2
∞
Z
R (t)
este convergent˘a, conform Criteriului comparat , iei rezult˘a c˘a s , i integrala 2 dt este
t(ln (t))
2
convergent˘a. Mai mult, dac˘ not˘am
a
∞
Z
R (t)
dt = c 0 ,
t(ln (t)) 2
2
atunci, ∀n ≥ 2, avem
n ∞
R (t) R (t)
Z Z
dt = c 0 − dt
2 2
t(ln (t)) t(ln (t))
2 n