Page 119 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 119

19. c. Folosim Regula lui L’Hˆopital pentru a calcula

0 1
ln (x) (ln (x)) 2
lim √ = lim √ = lim x = lim √ = 0,
1
x→∞ x x→∞ ( x) 0 x→∞ √ x→∞ x
2 x
din care, cu definit , ia limitei, obt , inem c˘a

ln (x)
pentru ε = 1, ∃δ > 0 astfel ca √ < 1, ∀x > δ;
x

ˆın particular
ln (k)
∃k 0 ∈ N astfel ca √ < 1, ∀k ≥ k 0 .
k
Prin urmare, pentru orice k ≥ k 0 , avem
√
ln (k) k 1 1
< = √ < √ ,
k (k − 1) k (k − 1) k (k − 1) k − 1 (k − 1)

deci
ln (k) 1
< .
k (k − 1) (k − 1) 3 2

Deoarece seria
1 1
X X
=
3 3
(k − 1) 2 k 2
k≥2 k≥1
este convergent˘ (serie armonic˘ generalizat˘ cu exponent > 1), conform criteriului comparat , iei,
a
a
a
seria
ln (k)
X
k (k − 1)
k≥2
este convergent˘a.
19. d. Din punctul 19.b deducem

ln (n!) X ln (p) X ln (p) ln (n!)
− ≤ < + ln (4) .
n p (p − 1) p n
p≤n p≤n
p prim p prim
Cum
ln (p) ln (k)
X X
a
< finit˘ (punctul 19.c),
p (p − 1) k (k − 1)
p≤n k≥2
p prim
avem c˘ ∃C > 0 astfel ˆıncˆat
a
ln (p)
X
−C ≤ ≤ C, ∀n ≥ 2.
p (p − 1)
p≤n
p prim
Din punctul 19.a avem

1 ln (n!) 1 ln (n)
ln (n) − 1 + ≤ ≤ ln (n) − 1 + + , ∀n ≥ 2.
n n n n