Page 118 - MATINF Nr. 13-14

118 M.N. Popescu

Dar

n n n
Z Z Z
n
0
0
ln (x) dx = x · ln (x) dx = x · ln (x) − x · (ln (x)) dx

1
1 1 1
n
Z
1 n
= n · ln (n) − 1 · ln (1) − x · dx = n · ln (n) − x = n · ln (n) − n + 1,

x 1
1
prin urmare
n
X
n · ln (n) − n + 1 ≤ ln (k) ≤ n · ln (n) − n + 1 + ln (n) , ∀n ≥ 2,
k=1
deci
n
X
ln (k) = n ln (n) − n + O (ln (n)) .
n→∞
k=1
19. b. Vom folosi formula de descompunere a unui num˘ar natural ˆın factori primi:

Y
m = p ν p(m) .
p≤m
p prim
ˆ
In cazul ˆın care m = n!, dac˘a p este prim s , i divide n! = 1 · 2 · . . . · n, atunci p divide cel put , in
unul din factori, deci p ≤ n, iar descompunerea ˆın factori primi devine
Y
n! = p ν p(n!) .
p≤n
p prim

a
a
Prin logaritmare, relat , ia anterioar˘ d˘
X
ln (n!) = ν p (n!) · ln (p).
p≤n
p prim

Cu m˘arginirile lui ν p (n!) date la puncul 18 obt , inem

n n n
Å ã ï ò
X X
− 1 · ln (p) < ln (n!) ≤ + · ln (p),
p p p (p − 1)
p≤n p≤n
p prim p prim
echivalent cu

X ln (p) X X ln (p) X ln (p)
n − ln (p) < ln (n!) ≤ n + n .
p p p (p − 1)
p≤n p≤n p≤n p≤n
p prim p prim p prim p prim
a
Pentru a doua sum˘a din stˆanga folosim majorarea dat˘ la punctul 17 s , i astfel
ln (p) ln (p) ln (p)
X X X
n − n ln (4) < ln (n!) ≤ n + n .
p p p (p − 1)
p≤n p≤n p≤n
p prim p prim p prim