Page 114 - MATINF Nr. 7

˘
114 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a XII-a

d 2
M 180. Rezolvat , i ˆın Z 2021 ecuat , ia 505x + 1 = 0.
b
b
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti

∗
M 181. Pentru n ∈ N , fie x k , k ∈ {1, 2, , . . . , 5n} r˘ad˘acinile complexe ale ecuat , iei
3
5
x + x + x + 1 n = x.

5n
X 1 9n · 4 n−1 − 1
Ar˘atat , i c˘a = .
n
1 − x k 4 − 1
k=1
Mih´aly Bencze, Bras , ov

M 182. Calculat , i
3x + 2x + 1
Z 2
dx, x ∈ R.
2
4
9x + 3x + 6x + 2
Sorin Ulmeanu, Pites , ti

M 183. Ar˘atat , i c˘a exist˘a o singur˘a funct , ie f : [0, ∞) → [1, ∞) astfel ˆıncˆat
È
f(x) = x + f(x), ∀ x ≥ 0.

6
Z
Demonstrat , i c˘a funct , ia f este continu˘a s , i calculat , i f(x) dx.
0
Cristinel Mortici, Viforˆata

M 184. a) Fie n ∈ N, n ≥ 4 s , i a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0. Demonstrat , i c˘a

" #
n n n
X Y X X
n
(n − 1) (n − 2) a + 2n · a i ≥ a i · a i a j a n−3 + a n−3 .
i i j
i=1 i=1 i=1 1≤i<j≤n
b) Demonstrat , i sau infirmat , i urm˘atoarea afirmat , ie: dac˘a n ∈ N, k ∈ R, 1 < k < n − 1 s , i
a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0, atunci

! k−1 ! k
n n n n n
X X Y X X
k
(n − 1) a i · a n−k+1 + n · a i ≥ a i · a n−k .
i
i
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin