Page 79 - MATINF Nr. 6

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 79

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 4

Clasa a IX-a

M 101. Determinat ,i s , irurile (a n ) cu proprietatea c˘a
n≥0

a n (1 − a n+1 ) ≤ a n+2 ≤ a n+1 (1 − a n ), ∀ n ≥ 0.

Cristinel Mortici, Viforˆata

Solut ,ie. Pentru orice n ∈ N, din a n (1 − a n+1 ) ≤ a n+1 (1 − a n ) rezult˘a c˘a a n ≤ a n+1 , deci s , irul
(a n ) n≥0 este cresc˘ator. Cum a n+2 ≤ a n+1 −a n a n+1 , rezult˘a c˘a a n a n+1 ≤ a n+1 −a n+2 , prin urmare
a n a n+1 ≤ 0, ∀ n ∈ N. Dac˘a ar exista n ∈ N astfel ˆıncˆat a n > 0, ar rezult˘a c˘a a n+1 ≥ a n > 0, de
∗
unde a n a n+1 > 0, contradict , ie. Prin urmare a n ≤ 0, ∀ n ∈ N. Dac˘a ar exista n ∈ N astfel ˆıncˆat
a n < 0, ar rezult˘a c˘a a n−1 ≤ a n < 0, de unde a n−1 a n > 0, contradict , ie. Astfel obt , inem c˘a a 0 ≤ 0
∗
s , i a n = 0 pentru orice n ∈ N , s , ir ce verific˘a proprietatea din enunt , .

M 102. Fie a, b, c > 1 astfel ˆıncˆat a + b + c = 2019. Demonstrat ,i inegalit˘at ,ile:
1 1 1 1
a) + + ≥ ;
a − 1 b − 1 c − 1 224
2
b) abc + 2 · 673 ≤ 225(ab + bc + ca).

Sorin Ulmeanu, Pites , ti

Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). a) Cu forma Titu Andreescu a Inegalit˘at ,ii Cauchy-Buniakowski-
2
1 1 1 (1 + 1 + 1) 9 1
Schwarz, avem + + ≥ = = .
a − 1 b − 1 c − 1 (a − 1) + (b − 1) + (c − 1) 2016 224
1 1 1
b) Prelucr˘am membrul stˆang al inegalit˘at , ii de la a). Obt , inem + + =
a − 1 b − 1 c − 1
3 − 2 (a + b + c) + (ab + bc + ca) (ab + bc + ca) − 4035
= . Astfel avem, succesiv:
abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) − 1 abc − (ab + bc + ca) + 2018
(ab + bc + ca) − 4035 1
≥ ; 224 (ab + bc + ca) − 903840 ≥ abc − (ab + bc + ca) + 2018;
abc − (ab + bc + ca) + 2018 224
2
225 (ab + bc + ca) ≥ abc + 905858; abc + 2 · 673 ≤ 225 (ab + bc + ca).
2
2
2
2
M 103. Fie a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0 astfel ˆıncˆat (n − 1) (a + a + . . . + a ) ≥ (a 1 + a 2 + . . . + a n ) .
n
2
1
2 3
3 2
2
3
3
2
Ar˘atat ,i c˘a (n − 1) (a + a + . . . + a ) ≥ (a + a + . . . + a ) .
n
2
n
2
1
1
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin