Page 98 - REVISTA MATINF Nr. 5
P. 98
˘
98 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI
Clasa a XII-a
∗
M 139. Ar˘atat , i c˘a nu exist˘a n ∈ N \ {1} astfel ˆıncˆat inelul claselor de resturi (Z n , +, ·) s˘a aib˘a
exact 2020 de elemente inversabile.
Stelian Corneliu Andronescu s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
M 140. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i a, b, c, d ∈ C, a 6= 0. Demonstrat , i c˘a cel mai mare divizor comun al
n
polinoamelor f = X + aX + b s , i g = X n+1 + cX + d este un polinom de grad mai mic sau egal
cu 2.
Cristinel Mortici, Viforˆata
M 141. Fie a ∈ R, a ≥ 1. Calculat , i integrala
√
2a−1 1 + x − 2ax + a + 1 1 + (x − 1)(x − a)(x − 2a + 1) cos πx
3
Z 2 2 p
I = 2 2 dx.
1 x − 2ax + a + 1
Marin Chirciu, Pites , ti
M 142. Fie f : [0, 2] → [0, ∞) o funct , ie derivabil˘a s , i cresc˘atoare. Ar˘atat , i c˘a
2 2 2
Z Z Z
2
2
4 f(x) dx ≤ 4 x f(x) dx − x f(x) dx.
1 1 0
Daniel Jinga, Pites , ti
M 143. Fie a, b, c s , i d numere reale nenegative. Ar˘atat , i c˘a
É
q
X 3 abc + abd + acd + bcd
2
(a − b) + 4 ≥ a + b + c + d,
4
P 2 2 2 2 2 2 2
unde (a − b) = (a − b) + (a − c) + (a − d) + (b − c) + (b − d) + (c − d) .
Cˆand are loc egalitatea?
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
(a + b + 2) 2
2
M 144. Fie funct , ia f : R → R, f(a, b) = . Determinat , i valorile k ∈ R pentru care
2
2
a + b + 2
inegalitatea
2
2
2
2
(a + b + 2) (ab + 2a + 2b + 1) ≥ 144ab(a + b + 2)
are loc pentru orice numere reale a s , i b astfel ˆıncˆat f(a, b) = k.
Michael Rozenberg, Israel s , i Leonard Mihai Giugiuc, Romˆania
