Page 97 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 97

Clasa a XI-a

2
3
M 133. Fie a, b, c, d ∈ C s , i A ∈ M n (C) astfel ˆıncˆat A = (a − 1)A + (a + b)A + bI n s , i
2
2
4
3
det (A + I n ) 6= 0. Calculat , i det (A − 2aA + (a + c + d)A − a(c + d)A + cdI n ).
Marin Chirciu, Pites , ti
∗
M 134. Fie p, q, n ∈ N astfel ˆıncˆat p < q ≤ n + 1 s , i fie a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R \ {0, 1} numere
n P a q+k − a p+k
n
∗
k
distincte dou˘a cˆate dou˘a. Pentru orice k ∈ N not˘am s k = P a s , i t k = i i .
i
i=1 i=1 a i − 1
n
Rezolvat , i ˆın R sistemul

 s 1 x 1 + s 2 x 2 + . . . + s n x n = t 1


s 2 x 1 + s 3 x 2 + . . . + s n+1 x n = t 2
.
 . . .


s n x 1 + s n+1 x 2 + . . . + s 2n−1 x n = t n
Stelian Corneliu Andronescu, Costel B˘alc˘au, Pites , ti s , i
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
M 135. Demonstrat , i c˘a s , irul (x n ) definit prin
n≥1
π 3π 5π (2n − 1)π
n+1
4
3
2C 2 cos + 3C n+1 cos + 4C n+1 cos + . . . +(n + 1)C n+1 cos
n+1
x n = 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
π 3π 5π (2n − 1)π
n
3
1
2
C sin + C sin + C sin + . . . + C sin
n n n n
2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1
este convergent s , i calculat , i limita sa.
Mihai Florea Dumitrescu, Potcoava s , i Costel B˘alc˘au, Pites , ti
∞ 2
X k 1
M 136. Ar˘atat , i c˘a ≤ .
e 2k 4
k=1
Sladjan Stankovik, Macedonia de Nord
M 137. Fie S suma solut , iilor din intervalul (0, 2π) ale ecuat , iei (tg x) tg x = 3 sin x .
4π 3π
 ‹
Ar˘atat , i c˘a S ∈ , .
3 2
Daniel Jinga, Pites , ti


 x + y + z = 3 √
3
M 138. Rezolvat , i ˆın R sistemul  1 ‹  1 ‹  1 ‹ 169 − 15 5 .
2
2
2
x + y + z + =

2 2 2 64
Florentin Vis , escu, Bucures , ti