Page 96 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
96 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

Clasa a X-a

M 127. Fie k un num˘ar real fixat. Determinat , i mult , imea

2
2
2
2

M k = 2 b + c 2 − a 2 a ≥ b ≥ c ≥ 0, a + b + c = 6, a + b + c = k .
Leonard Mihai Giugiuc, Drobeta Turnu Severin
√
7
M 128. Ar˘atat , i c˘a log 3 + log 5 + log 7 + . . . + log 15 > 7 2.
2 4 6 14
Dorin M˘arghidanu, Corabia

n 3 2 k
X (3k + 9k + 11k + 4) C 2k+1
∗
M 129. Calculat , i suma , unde n ∈ N .
k + 2
k=1

Mih´aly Bencze, Bras , ov

M 130. Fie z 1 , z 2 , . . . , z 12 numere complexe distincte dou˘a cˆate dou˘a s , i avˆand modulele egale.
Dac˘a |z 1 − z 2 | = |z 4 − z 5 | = |z 7 − z 8 | = |z 10 − z 11 |, |z 2 − z 3 | = |z 5 − z 6 | = |z 8 − z 9 | = |z 11 − z 12 |,
|z 3 − z 4 | = |z 6 − z 7 | = |z 9 − z 10 | = |z 12 − z 1 | s , i punctele de afixe z 1 , z 2 , . . . , z 12 sunt, ˆın aceast˘a
ordine, vˆarfurile unui poligon convex, atunci ar˘atat , i c˘a z 1 + z 2 + . . . + z 12 = 0.

Sorin Ulmeanu, Pites , ti

M 131. Rezolvat , i ˆın mult , imea numerelor naturale ecuat , ia

π 3π √
n · ctg 2 + n · ctg 2 = 10 10n.
n n

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

M 132. Fie ABC un triunghi, I centrul cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC, iar D, E s , i F
punctele de intersect , ie ale acestui cerc cu segmentele (IA), (IB), respectiv (IC). Ar˘atat , i c˘a:

A ABC P ABC
a) ≥ 4; b) ≥ 2.
A DEF P DEF

Sorin Borodi, Dej