Page 95 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 95

Probleme propuse pentru liceu

Clasa a IX-a

M 121. Demonstrat , i c˘a oricum s-ar considera patru puncte ˆın interiorul sau pe conturul
poligonului OABCDE, unde O(0, 0), A(4, 0), B(4, 2), C(2, 2), D(2, 4) s , i E(0, 4), se pot alege
dou˘a, notate M 1 (x 1 , y 1 ) s , i M 2 (x 2 , y 2 ), astfel ˆıncˆat |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 | ≤ 4.

Cristinel Mortici, Viforˆata
M 122. Fie a, b, c, x, y, z numere reale strict pozitive. Ar˘atat , i c˘a

1 1 1 a + b + c
x y z + y z x + z x y ≤ x + y + z .
+ + + + + +
a b c a b c a b c

Cˆand are loc egalitatea?

Dorin M˘arghidanu, Corabia
M 123. Ar˘atat , i c˘a pentru orice n, x, y, z > 0 are loc inegalitatea

n(n + 3)(x + y) + 3 n(n + 3)(y + z) + 3 n(n + 3)(z + x) + 3 27
+ + ≥ 6n + .
x + y + (n + 1)z y + z + (n + 1)x z + x + (n + 1)y (n + 3)(x + y + z)

Daniel Jinga, Pites , ti
M 124. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i a 1 , a 2 , . . . , a n ∈ R astfel ˆıncˆat 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ . . . ≤ a n . Ar˘atat , i c˘a
2
n(n − 1) X 3a − 2a i a j + 3a 2 j 3n(n − 1)  a 1 a n 2 ‹
i
≤ ≤ + − .
2 (a i + a j ) 2 8 a n a 1 3
1≤i<j≤n
Sorin Ulmeanu, Pites , ti s , i Nicolae Papacu, Slobozia
M 125. Se consider˘a un cerc de centru O s , i raz˘a R, A un punct exterior cercului s , i B, C, D, E
patru puncte distincte situate pe cerc astfel ˆıncˆat B ∈ (OA), C ∈ (AD), AC = R s , i O ∈ (DE).
Not˘am cu x lungimea segmentului AB.
a) Ar˘atat , i c˘a 2m (^BCE) = 3m (^BAD).

R
b) Calculat , i astfel ˆıncˆat 4ADE s˘a fie echilateral.
x
R
c) Calculat , i astfel ˆıncˆat [AB] ≡ [CD].
x
Thanos Kalogerakis, Grecia
M 126. Demonstrat , i c˘a ˆın orice triunghi ABC avem:

2
2
(1 + ab)(a + b) (1 + bc)(b + c) (1 + ca)(c + a) p + r − 2Rr
a) + + ≤ ;
2
2
2
2
2
2
(1 + a )(1 + b ) (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) 4Rr
(1 + r a r b )(r a + r b ) (1 + r b r c )(r b + r c ) (1 + r c r a )(r c + r a ) 2R − r
b) + + ≤ .
2
2
2
(1 + r )(1 + r ) (1 + r )(1 + r ) (1 + r )(1 + r ) r
2
2
2
b
a
b
a
c
c
Mih´aly Bencze, Bras , ov