Page 123 - MATINF Nr. 13-14

´
Rezolvarea problemelor date la concursul de admitere la Ecole Polytechnique, filiera MPI, sesiunea 2024 123

x
adic˘a minus partea fract , ionar˘a a num˘arului , care este un num˘ar din intervalul (−1, 0], deci
q
m˘arginit ˆın valoare absolut˘ de 1.
a
21. b Avem
1 X 1 X X 1 X
ω (n) = 1 = card {n ∈ N ∩ [1, x] : n ≡ 0 (mod p)},
x x x
n≤x n≤x p|n p≤x
p prim p prim
deci, cu 21.a,
x
1 X 1 X Å ã
ω (n) = E .
x x p
n≤x p≤x
p prim
Deoarece

x

1 X 1 X x 1 X Å ã 1 X x 1 X

ω (n) − − ≤
= E 1 ≤ 1,
x x p x p x p x

n≤x p≤x p≤x p≤x p≤x
p prim p prim p prim p prim
avem
1 X X 1
ω (n) = + O (1) .
x x→∞ p
n≤x p≤x
p prim
Cum, cu 20.c,
Å ã
X 1 X 1 1
= = ln 2 (E (x)) + c 1 + O
p p E(x)→∞ ln E (x)
p≤x p≤E(x)
p prim p prim

s , i
E (x) → ∞ ⇔ x → ∞,

ln (E (x))
ln 2 (E (x)) = ln 2 (x) + ln 2 (E (x)) − ln 2 (x) = ln 2 (x) + ln = ln 2 (x) + O (1) ,
ln (x)

Å ã
1
c 1 + O = O (1) ,
ln E (x)
rezult˘ c˘
a
a
1 X
ω (n) = ln 2 (x) + O (1) .
x x→∞
n≤x
22. a. Avem

2
1 X 2 1 X 2 2ln 2 (x) X (ln 2 (x)) X
(ω (n) − ln 2 (x)) = (ω(n)) − ω (n) + 1,
x x x x
n≤x n≤x n≤x n≤x
ˆın care (cu punctul 21.b)

2ln 2 (x) X
2
− ω (n) = − 2(ln 2 (x)) + O (ln 2 (x))
x x→∞
n≤x