Page 42 - MATINF Nr.2

42 S.C. Andronescu, C. B˘alc˘au, D. Constantin, D.A. Popescu

Observat ,ia 8. Conform Definit , iei 3 avem

s(0) = s(1) = s(3) = s(9) = 6, s(2) = 2, s(4) = s(5) = s(6) = s(8) = 4, s(7) = 8.

Ä ä
Definit , ia 4. Not˘am t(k) = u 2 4−k , k = 0, 3.

Observat ,ia 9. Conform definit , iei anterioare avem

t(0) = 6, t(1) = 8, t(2) = 4, t(3) = 2.

Teorema 1 (relat , ia de recurent , ˘a a numerelor r(n!)). Avem

1, dac˘a n ∈ {0, 1},
®
r(n!) = Ä Äî ó ä Äî ó ää
n
n
u s(u(n)) · t MOD 4 · r ! , dac˘a n ≥ 2.
5 5
Demonstrat¸ie. Evident, r(0!) = r(1!) = r(1) = 1. Pentru n ≥ 2 egalitatea din enunt , este o
consecint , ˘a imediat˘a a Propozit , iei 6, Definit , iilor 3 s , i 4 s , i Lemei 8.

Exemplul 7. Pentru a calcula r(1918!) proced˘am astfel:

1918
ñ ô
= 383, 383 MOD 4 = 3,
5
ñ ô
383
= 76, 76 MOD 4 = 0,
5
76
ñ ô
= 15, 15 MOD 4 = 3,
5
ñ ô
15
= 3, 3 MOD 4 = 3,
5
ñ ô
3
= 0, 0 MOD 4 = 0.
5
Astfel avem

Ç Çñ ô å Çñ ô åå
1918 1918
r(1918!) = u s(u(1918)) · t MOD 4 · r !
5 5
= u (s(8) · t(3) · r(383!)) = u (4 · 2 · r(383!)) ,
r(383!) = u (s(3) · t(0) · r(76!)) = u (6 · 6 · r(76!)) ,
r(76!) = u (s(6) · t(3) · r(15!)) = u (4 · 2 · r(15!)) ,

r(15!) = u (s(5) · t(3) · r(3!)) = u (4 · 2 · r(3!)) ,
r(3!) = u (s(3) · t(0) · r(0!)) = u (6 · 6 · 1) = 6,

deci revenind la relat , iile anterioare obt , inem c˘a

r(15!) = u (4 · 2 · 6) = 8,
r(76!) = u (4 · 2 · 8) = 4,
r(383!) = u (6 · 6 · 4) = 4,
r(1918!) = u (4 · 2 · 4) = 2.