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Determinarea ultimei cifre nenule pentru produse de numere naturale 37

Pe de alt˘a parte, egalitatea r(m 1 ·m 2 ·. . .·m n ) = u (r(m 1 ) · r(m 2 ) · . . . · r(m n )) este adev˘arat˘a
doar dac˘a u (r(m 1 ) · r(m 2 ) · . . . · r(m n )) 6= 0. Mai mult, egalitatea r(m 1 · m 2 · . . . · m n ) =
r (r(m 1 ) · r(m 2 ) · . . . · r(m n )) este adev˘arat˘a dac˘a u (r(m 1 ) · r(m 2 ) · . . . · r(m n )) 6= 0 s , i nu este
neap˘arat adev˘arat˘a ˆın caz contrar.

De exemplu, r(320 · 170) = 4 = u (r(320) · r(170)) = r (r(320) · r(170)), dar r(320 · 150) = 8
iar u (r(320) · r(150)) = 0 s , i r (r(320) · r(150)) = 1.

Propozit , ia 4. Pentru orice numere naturale nenule m 1 , m 2 , . . . , m n avem

a(m 1 · m 2 · . . . · m n ) = a(m 1 ) + a(m 2 ) + . . . + a(m n ),
b(m 1 · m 2 · . . . · m n ) = b(m 1 ) + b(m 2 ) + . . . + b(m n ),

c(m 1 · m 2 · . . . · m n ) = u (c(m 1 ) · c(m 2 ) · . . . · c(m n )) .

n P
a(m i ) n P b(m i )
Ä ä
Demonstrat¸ie. Avem m 1 ·m 2 ·. . .·m n = 2 a(m i ) · 5 b(m i ) · (M10 + c(m i )) = 2 i=1 ·5 i=1 ·
n Q
i=1
Å Å ãã
M10 + u n Q c(m i ) , de unde rezult˘a egalit˘at , ile din enunt , .
i=1

Urm˘atorul rezultat este o consecint , ˘a imediat˘a a Propozit , iilor 4 s , i 2 s , i a Observat , iei 2.

Corolarul 2. Fie m 1 , m 2 , . . . , m n numere naturale nenule.

a) Dac˘a a(m 1 ) + a(m 2 ) + . . . + a(m n ) = b(m 1 ) + b(m 2 ) + . . . + b(m n ), atunci

r(m 1 · m 2 · . . . · m n ) = u (c(m 1 ) · c(m 2 ) · . . . · c(m n )) .

b) Dac˘a a(m 1 ) + a(m 2 ) + . . . + a(m n ) < b(m 1 ) + b(m 2 ) + . . . + b(m n ), atunci

r(m 1 · m 2 · . . . · m n ) = 5.

c) Dac˘a a(m 1 ) + a(m 2 ) + . . . + a(m n ) > b(m 1 ) + b(m 2 ) + . . . + b(m n ), atunci

Å
r(m 1 · m 2 · . . . · m n ) = u 6 · 2 (a(m 1 )+a(m 2 )+...+a(m n)−b(m 1 )−b(m 2 )−...−b(m n)) MOD 4 ·
ã
c(m 1 ) · c(m 2 ) · . . . · c(m n ) .

2
6
Exemplul 5. 320 = 2 · 5 s , i 150 = 2 · 5 · 3, deci a(320) = 6, b(320) = 1, c(320) = 1,
a(150) = 1, b(150) = 2, c(150) = 3, a(320) + a(150) = 7, b(320) + b(150) = 3 s , i r(320 · 150) =
Ä ä
0
u 6 · 2 (7−3) MOD 4 · 1 · 3 = u(6 · 2 · 3) = 8.