Page 41 - MATINF Nr.2

Determinarea ultimei cifre nenule pentru produse de numere naturale 41

s , i

Ä 4−(k MOD 4) ä Ä k MOD 4 4 ä Ä Ä k MOD 4 ä 4 ä
u m · 2 = u m : 2 · 2 = u u m : 2 · u(2 )
p
p
= u (u (u(2 ) · u(y)) · 6) = u (u(2 ) · 6 · u(y))
p
p
= u (u(2 · 6) · u(y)) = u (u(2 ) · u(y)) ,
deci au loc egalit˘at , ile din enunt , .
Propozit , ia 6. Pentru orice num˘ar natural n, n ≥ 2, avem

Ñ é
n Y 4−([ ] MOD 4)
Åï ò ã Ç å Å ã
n
r(n!) = u r ! · u i · u 2 5 .
5
1≤i≤n
i6=M5
Demonstrat¸ie. Avem
[n/5] ï ò
n
Y Y Y Y [ ] n Y
n! = i · i = (5k) · i = 5 5 · ! · i
5
1≤i≤n 1≤i≤n k=1 1≤i≤n 1≤i≤n
i=M5 i6=M5 i6=M5 i6=M5
n
ï ò Ç Y n å
n
= 10 [ ] · ! · i : 2 [ ] ,
5
5
5
1≤i≤n
i6=M5
deci utilizˆand Lema 6 s , i Observat , iile 7 s , i 6 rezult˘a c˘a
Ñ é Ñ é
n Y n n Y n
ï ò Ç å Åï ò ã Ç å
r(n!) = r ! · i : 2 [ ] = u r ! · u i : 2 [ ] .
5
5
5 5
1≤i≤n 1≤i≤n
i6=M5 i6=M5
n
n
n
Cum Q i se divide cu 2 [ ] s , i î ó > î ó , aplicˆand Lema 7 obt , inem relat , ia din enunt , .
2
5
2
1≤i≤n
i6=M5
Definit , ia 3. Pentru orice num˘ar natural n, n ≥ 2, not˘am
Ç å
Y
s(n) = u i .
1≤i≤n
i6=M5
Prin convent ,ie, definim s , i s(0) = s(1) = 6.
Lema 8. Pentru orice num˘ar natural n, n ≥ 2, avem
s(n) = s(u(n)).
Demonstrat¸ie. Avem

Ñ é
Ç å Ç å
Y Y
s(n + 10) = u( u i · u i
1≤i≤n n+1≤i≤n+10
i6=M5 i6=M5
= u (s(n) · u(1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 7 · 8 · 9)) = u (s(n) · 6) = s(n),

deoarece s(n) este evident o cifr˘a par˘a s , i nedivizibil˘a cu 5. Cum s(10) = s(0) = 6 s , i s(11) =
s(1) = 6, obt , inem c˘a s , irul (s(n)) este periodic de perioad˘a 10 s , i astfel rezult˘a egalitatea din
n≥0
enunt , .