Page 35 - MATINF Nr.2

Determinarea ultimei cifre nenule pentru produse de numere naturale 35

k
k
Demonstrat¸ie. Fie a = max{k ∈ N | 2 divide m} s , i b = max{k ∈ N | 5 divide m}. Atunci
a
b
m = 2 · 5 · p, unde p este un num˘ar natural care nu se divide nici cu 2, nici cu 5. Notˆand
b
a
c = u(p), rezult˘a c˘a m = 2 · 5 · (M10 + c) s , i c ∈ {1, 3, 7, 9}.
ˆ
Demonstr˘am acum unicitatea scrierii (1). Intr-adev˘ar, fie
0
0
b
0
0
a
b
a
0
0
m = 2 · 5 · (M10 + c) = 2 · 5 · (M10 + c ), cu a, b, a , b ∈ N s , i c, c ∈ {1, 3, 7, 9}.
0
0
b
a
a
Cum 5 ·(M10+c) nu se divide cu 2, rezult˘a c˘a 2 divide 2 , deci a ≤ a. Analog se obt , ine c˘a 2 a
0
0
0
0
a
0
divide 2 , deci a ≤ a s , i astfel a = a . Analog se arat˘a c˘a b = b . Rezult˘a c˘a M10+c = M10+c ,
0
deci s , i c = c .
Definit , ia 2. Pentru orice num˘ar natural nenul m, not˘am cu a(m), b(m) s , i c(m) numerele a,
b, respectiv c din scrierea (1).
Propozit , ia 2. Pentru orice num˘ar natural nenul m avem

c(m), dac˘a a(m) = b(m),


r(m) = 5, dac˘a a(m) < b(m),
Ä ä
 a(m)−b(m)
u 2 · c(m) , dac˘a a(m) > b(m).

Demonstrat¸ie. Conform definit , iei anterioare, m = 2 a(m) ·5 b(m) ·(M10+c(m)), cu a(m), b(m) ∈ N
s , i c(m) ∈ {1, 3, 7, 9}.
Cazul 1. Dac˘a a(m) = b(m), atunci m = 10 a(m) · (M10 + c(m)), deci m se termin˘a ˆın a(m)
zerouri s , i ultima cifr˘a nenul˘a a sa este c(m).
Cazul 2. Dac˘a a(m) < b(m), atunci m = 10 a(m) ·5 b(m)−a(m) ·(M10+c(m)), deci m se termin˘a
Ä b(m)−a(m) ä
ˆın a(m) zerouri s , i ultima sa cifr˘a nenul˘a este u 5 · c(m) = 5.

Cazul 3. Dac˘a a(m) > b(m), atunci m = 10 b(m) ·2 a(m)−b(m) ·(M10+c(m)), deci m se termin˘a
Ä ä
ˆın b(m) zerouri s , i ultima sa cifr˘a nenul˘a este u 2 a(m)−b(m) · c(m) .

Ä ä Ä ä
∗
Observat ,ia 2. Pentru orice k ∈ N avem u 2 k = u 6 · 2 k MOD 4 , deci formula lui r(m) dat˘a de
Propozit , ia 2 poate fi rescris˘a sub forma:


c(m), dac˘a a(m) = b(m),


r(m) = 5, dac˘a a(m) < b(m),
Ä ä

u 6 · 2 · c(m) , dac˘a a(m) > b(m).
 (a(m)−b(m)) MOD 4
2
2
Exemplul 4. 15300 = 2 · 5 · 153, deci a(15300) = b(15300) = 2, c(15300) = 3 s , i r(15300) = 3.
2
3
23500 = 2 · 5 · 47, deci a(23500) = 2, b(23500) = 3, c(23500) = 7 s , i r(23500) = 5.
8
42240 = 2 · 5 · 33, deci a(42240) = 8, b(42240) = 1, c(42240) = 3 s , i r(42240) =
Ä ä
3
u 6 · 2 (8−1) MOD 4 · 3 = u(6 · 2 · 3) = 4.