Page 87 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 87

M 85. Demonstrat ,i c˘a ˆın orice triunghi neobtuzunghic ABC are loc inegalitatea

√ √ €p p p Š 2 √
(3 3 − 4)(ctg A + ctg B + ctg C) + (2 − 3) ctg A + ctg B + ctg C ≥ 2 3.

ˆ
In ce triunghiuri inegalitatea devine egalitate?

Leonard Giugiuc, Drobeta Turnu Severin

√ √ √
2 2
2 2
2 2
Solut ,ie. Not˘am ctg A = x, ctg B = y s , i ctg C = z. Avem x, y, z ≥ 0 s , i x y +y z +z x =
√
√
2
2
2
2
1. Deci inegalitatea din enunt , se poate scrie ca (3 3 − 4)(x + y + z ) + (2 − 3)(x + y + z) ≥
√ p
2 2
2 3 x y + y z + z x , (1). Vom demonstra c˘a inegalitatea (1) este adev˘arat˘a pentru orice
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
numere x, y, z ≥ 0. Remarc˘am c˘a x y + y z + z x = (xy + yz + zx) − 2xyz(x + y + z). Deci
dac˘a fix˘am pe x+y +z s , i xy +yz +zx, atunci membrul drept din (1) este descresc˘ator ˆın funct , ie
de variabila xyz. Conform Teoremei 3 de la pag. 41 din RMGO 1/2018 (http://rmgo.upit.ro),
este suficient s˘a verific˘am c˘a (1) este adev˘arat˘a ˆın urm˘atoarele dou˘a cazuri:
√ √
2
Cazul 1. y = z = 1 s , i x ∈ [0, 1]. Avem de ar˘atat c˘a (3 3 − 4)(x + 2) + (2 −
√ √ √ 2 3)(x + 2) ≥
2
2
2 3 2x + 1, inegalitate echivalent˘a cu x(x + 2 3)(x − 1) ≥ 0, adev˘arat. Egalitatea are loc
pentru x = 0 sau x = 1.
√ √ √
2
2
2
Cazul 2. z = 0. Avem de ar˘atat c˘a (3 3−4)(x +y )+(2− 3)(x+y) ≥ 2 3xy, inegalitate
√ √
2
2
2
ce se obt , ine folosind Inegalitatea mediilor astfel: (3 3 − 4)(x + y ) + (2 − 3)(x + y) ≥
√
√
√
(3 3 − 4) · 2xy + (2 − 3) · 4xy = 2 3xy. Egalitatea are loc pentru x = y.
Demonstrat , ia inegalit˘at , ii (1) esteˆıncheiat˘a. Cazurile de egalitateˆın (1) sunt (x, x, x), (x, x, 0),
(x, 0, x) s , i (0, x, x), deci inegalitatea din enunt , devine egalitate pentru triunghiurile echilaterale
sau dreptunghice isoscele.
Clasa a X-a
M 86. Ar˘atat ,i c˘a pentru orice a, b, c > 0 are loc inegalitatea
‚ É Œ
É É  3 3 3 ‹
a 3 b c a b c
9 3 + + 3 − + + ≤ 24.
b c a b 3 c 3 a 3
Sorin Ulmeanu, Pites , ti
É
a b c
É É
Solut ,ie (Daniel V˘acaru, Pites , ti). Notˆand 3 = x, 3 = y s , i 3 = z, inegalitatea din enunt ,
b c a
9
9
9
9
devine 9(x + y + z) − (x + y + z ) ≤ 24. Dar, folosind Inegalitatea mediilor, avem x + 8 ≥ 9x,
9
9
y + 8 ≥ 9y, z + 8 ≥ 9z s , i prin adunare obt , inem inegalitatea dorit˘a.
M 87. Fie a, b ∈ (1, ∞) astfel ˆıncˆat ab = 4. Ar˘atat ,i c˘a
1 1
+ < 1.
2 log (a + 1) − 1 2 log (b + 1) − 1
a
b
Dinu Teodorescu, Tˆargovis , te