Page 85 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI 85

˘
PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU
CONCURSURI

Rezolvarea problemelor pentru liceu din MATINF nr. 3

Clasa a IX-a

M 81. Fie s , irul (x n ) ⊂ [0, ∞) astfel ˆıncˆat x 0 = x 1 = 0 s , i
n≥0

1
∗
2
x 2 = 3x 2 − x + , ∀n ∈ N .
n+2 n+1 n 2
n
1 1 1
Demonstrat ,i c˘a x n ≥ 1 + + + . . . + , ∀n ∈ N, n ≥ 3.
2 3 n − 2
Cristinel Mortici, Viforˆata

∗
Solut ,ie. Demonstr˘am prin induct , ie c˘a x n+1 ≥ x n , ∀n ∈ N , (1). Afirmat , ia este adev˘arat˘a
2
2
pentru n = 1 (x 2 ≥ 0) s , i n = 2 (x = 3x + 1, deci x 3 ≥ x 2 ). Presupunem c˘a x k+1 ≥ x k , unde
3
2
1
2
k ≥ 2, s , i avem x 2 − x 2 = 2x 2 − x + ≥ 0, deci x k+2 ≥ x k+1 .
k+1
k+1
k
k+2
k 2
2
2
Rezult˘a c˘a x n ≥ x 3 , pentru orice n ≥ 3. Cum x 3 ≥ 1 (deoarece x = 3x + 1 ≥ 1), obt , inem
3 2
2
2
c˘a x n ≥ , ∀n ≥ 3, (2). Folosind (1) s , i (2), pentru orice n ≥ 3 avem x 2 = 3x − x 2 +
n − 1 n+1 n n−1
1 1 2 1  1 ‹ 2 1
2
2
≥ 2x + ≥ x +x n · + = x n + , deci x n+1 ≥ x n + ,
(n − 1) 2 n (n − 1) 2 n n − 1 (n − 1) 2 n − 1 n − 1
1 n−1 n−1 1
P
P
adic˘a x n+1 − x n ≥ . Astfel pentru orice n ≥ 4 avem (x k+1 − x k ) ≥ , adic˘a
n − 1 k=3 k=3 k − 1
1 1 1
x n − x 3 ≥ + + . . . + . Cum x 3 ≥ 1, rezult˘a inegalitatea din enunt , .
2 3 n − 2
M 82. Fie D, E s , i F punctele de intersect ,ie ale cercului exˆınscris triunghiului ABC cores-
punz˘ator laturii BC cu (BC), (AB, respectiv (AC, iar P s , i Q punctele de intersect ,ie ale acestui
PQ · EF
cerc cu (BF), respectiv (CE). Ar˘atat ,i c˘a = 3.
PE · QF
Miguel Ochoa Sanchez, Peru
Solut ,ie. Conform Teoremei lui Ptolemeu pentru patrulaterul inscriptibil BEFC avem
PF · EQ
PQ · EF + PE · QF = PF · EQ, deci este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a = 4.
PE · QF
A
Cu notat , iile uzuale din 4ABC, avem AE = AF = p, deci EF = 2p sin s , i BF 2 =
2
p − c BP PE (p − c) 2
2
2
p +c −2pc cos A. Din 4BEP ∼ 4BFE avem = = , deci BP =
BF p − c A BF
2p sin
2