Page 86 - REVISTA MATINF Nr. 5

˘
86 PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU CONCURSURI

A A A
2p · BP · sin 2p(p − c) sin 2p(p − b) sin
s , i PE = 2 = 2 . Analog, QF = 2 . Prin urmare, avem
p − c BF CE
A 2 A
2
(p − c) 2 2pc(1 − cos A) 4pc sin 4pb sin
PF = BF − BP = BF − = = 2 . Analog, EQ = 2 .
BF BF BF CE
A A
4pc sin 2 4pb sin 2
2 · 2 2 A
PF · EQ BF CE 4bc sin 2
Astfel, obt , inem = = = 4.
PE · QF A A (p − b)(p − c)
2p(p − c) sin 2p(p − b) sin
2 · 2
BF CE
M 83. Fie n ∈ N, n ≥ 2 s , i a 1 , a 2 , . . . , a n ≥ 0. Demonstrat ,i c˘a
Í
n n n
X X √ X √
a k ≥ n − 1 · a i .
i=1 k=1 i=1
k6=i

Daniel Jinga, Pites , ti
√ √
Solut ,ie. Inegalitatea dat˘a se scrie, desf˘as , urat, a 2 + a 3 + . . . + a n + a 1 + a 3 + . . . + a n +
√ √ √ √
a n . Aplicˆand Inegalitatea Cauchy-
. . .+ a 1 + a 2 + . . . + a n−1 ≥ n − 1 a 1 + a 2 + . . . + √
√ √ 2
a n , deci
Buniakowski-Schwarz avem (n − 1) (a 2 + a 3 + . . . + a n ) ≥ a 2 + a 3 + . . . + √
√ √ √ √ √
(n − 1) a 2 + a 3 + . . . + a n ≥ n − 1 ( a 2 + a 3 + . . . + a n ) .
Scriind ˆınc˘a n − 1 relat , ii analoage s , i adunˆand rezult˘a inegalitatea dorit˘a.

M 84. Demonstrat ,i c˘a pentru orice n ∈ N, n ≥ 2 are loc egalitatea
√
π 3π 5π (2 n−1 − 1) π 2
sin sin sin · . . . · sin = n−2 .
2 n 2 n 2 n 2 n 2 2

Ionel Tudor, C˘alug˘areni

2 n−2 (2k − 1)π
Q
Solut ,ie. Not˘am cu P n produsul din membrul stˆang, adic˘a P n = sin . Avem
k=1 2 n
2 n−1 (2k − 1)π 2 n−2 (2k − 1)π 2 n−1 (2j − 1)π
Q Q Q
P n+1 = sin = sin · sin . Inversˆand ordinea facto-
k=1 2 n+1 k=1 2 n+1 j=2 n−2 +1 2 n+1
2 n−2 (2k − 1)π
Q
rilor ˆın al doilea produs, adic˘a notˆand 2 n−1 − j + 1 = k, rezult˘a c˘a P n+1 = sin ·
k=1 2 n+1
n
n
2 n−2 (2 − 2k + 1)π (2 − 2k + 1)π  π (2k − 1)π ‹ (2k − 1)π
Q
sin . Cum sin = sin − = cos , re-
k=1 2 n+1 2 n+1 2 2 n+1 2 n+1
2 n−2  (2k − 1)π (2k − 1)π ‹ 2 n−2  1 (2k − 1)π ‹
Q Q
zult˘a c˘a P n+1 = sin n+1 cos n+1 = · sin n , prin urmare
k=1 2 2 k=1 2 2 √
1 2
P n+1 = · P n . Folosind aceast˘a relat , ie, prin induct , ie rezult˘a us , or c˘a P n = , pentru
2 2 n−2 √ √ √ 2 2 n−2
π 2 2 2
ˆ
orice n ≥ 2. Intr-adev˘ar, P 2 = sin = = , iar presupunˆand c˘a P n = , unde n ≥ 2,
2 √ 2 √ 2 2 0 2 2 n−2
1 1 2 2
avem P n+1 = · P n = · = , ceea ce ˆıncheie demonstrat , ia.
2 2 n−2 2 2 n−2 2 2 n−2 2 2 n−1