Page 57 - MATINF Nr. 1

Rezolvarea sistemelor de ecuat , ii liniare 57

0
0
2. nedeterminat, dac˘a m < n. Construim mult , imea S = {l ∈ N | j l [m ] = 0, 1 ≤ l ≤ n}.
0
0
0
[m ] [m ] [m ]
Parcurgem a doua linie, j 1 , j 2 , . . . , j n :
0
(a) dac˘a j l [m ] = 0, 1 ≤ l ≤ n, atunci x l este necunoscut˘a secundar˘a s , i avem x l = α l , unde
α l ∈ R este un parametru.
0
0
0
(b) dac˘a j [m ] 6= 0, 1 ≤ l ≤ n, atunci x l = b [m ] − X a [m ] α q .
l
j [m 0 ] j [m 0 ] q
l q∈S l
Exemplu de calcul
Consider˘am sistemul

 x 1 +2x 2 +3x 3 + 4x 4 + 5x 5 = 6




2x 1 + x 2 +3x 3 + 2x 4 + x 5 = 8


, (2)
 x 1 +5x 2 +6x 3 +10x 4 +14x 5 =10





2x 1 + x 2 +6x 3 + 5x 4 + 4x 5 = 3

Pentru rezolvare utiliz˘am algoritmul prezentat mai sus. Mai ˆıntˆai scriem tabelul init , ial.
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6
0 2 1 3 2 1 8
0 1 5 6 10 14 10
0 2 1 6 5 4 3

ˆ
In linia corespunz˘atoare primei ecuat , ii toate elementele sunt nenule, deci oricare element
poate fi ales ca pivot. Pentru a evita calculele complicate, alegem ca pivot primul element, pe 1,
elementul ˆıncadrat ˆıntr-un p˘atrat ˆın tabelul anterior. Prelucr˘am primul tabel:
– ˆın coloana din stˆanga, ˆın linia pivotului, punem 1 deoarece am ales pivotul ˆın coloana lui x 1 ;
restul elementelor se transcriu din primul tabel;
– ˆın linia de deasupra zonei centrale, ˆın coloana pivotului, sub x 1 , punem 1 deoarece pivotul se
g˘ases , te ˆın linia 1 din zona central˘a, linia corespunz˘atoare primei ecuat , ii; restul elementelor se
transcriu din primul tabel;
– linia pivotului se ˆımparte la pivot, adic˘a se transcrie deoarece pivotul este egal cu 1;
– coloana pivotului se completeaz˘a cu zero-uri;
– restul elementelor se calculeaz˘a cu regula dreptunghiului; de exemplu, elementul din linia 4 s , i
coloana 3 din zona central˘a (care este 6 ˆın primul tabel) se calculeaz˘a astfel:

6 · 1 − 2 · 3
[1]
a 43 = = 0,
1
6 este elementul corespunz˘ator din tabelul anterior, 1 este pivotul, 2 s , i 3 sunt ”proiect , iile”
elementului ˆınlocuit pe coloana, respectiv linia, pivotului. Termenii liberi se calculeaz˘a ˆın acelas , i
mod: elementul din linia 3 din coloana termenilor liberi se calculeaz˘a astfel

[1] 10 · 1 − (1) · 6
b 3 = = 4.
1
Obt , inem tabelul urm˘ator: