Page 55 - MATINF Nr. 1

˘
MATEMATICA PENTRU PROGRAMATORI SI
,
PROGRAMARE PENTRU MATEMATICIENI

Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare
,

Laurent , iu Deaconu 1

Ne propunem s˘a realiz˘am o aplicat , ie (un program) care s˘a rezolve un sistem de ecuat , ii liniare.
Nu insist˘am asupra sistemelor de ecuat , ii liniare compatibile determinate (pentru care rangul
matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse s , i cu num˘arul de necunoscute) pentru
care exist˘a multe metode simple de rezolvare (inclusiv metoda Cramer) care se pot transfera ˆın
algoritmi informatici, ci prezent˘am o metod˘a care permite atˆat stabilirea compatibilit˘at , ii cˆat s , i
rezolvarea sistemelor compatibile nedeterminate.

Argumentare matematic˘a

Consider˘am sistemul de ecuat , ii liniare


 a 11 x 1 + a 12 x 2 +· · · + a 1n x n =b 1



 a 21 x 1 + a 22 x 2 +· · · + a 2n x n =b 2
. , (1)
 . .




a m1 x 1 +a m2 x 2 +· · · +a mn x n =b m
?
cu a ij , b i ∈ R, i ∈ 1, m, j ∈ 1, n, m, n ∈ N .
Algoritmul folosit pentru rezolvarea sistemului are la baz˘a lema substitut , iei. Pentru simplifi-
ˆ
carea calculelor vom organiza rezolvarea transferˆand sistemul ˆıntr-un tabel. In mod normal,
dac˘a sistemul este compatibil, algoritmul are m pas , i. La pasul k (0 ≤ k ≤ m) tabelul are
urm˘atoarea structur˘a:
. . . . . .
x 1 x 2 x l x n
[k] [k] [k] [k]
j 1 j 2 . . . j l . . . j n
[k] [k] [k] [k] [k] [k]
i a a . . . a . . . a b
1 11 12 1l 1n 1
[k] [k] [k] [k] [k] [k]
i 2 a 21 a 22 . . . a 2l . . . a 2n b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i [k] a [k] a [k] . . . a [k] . . . a [k] b [k]
k1
k2
kn
k
kl
k
[k] [k] [k] [k] [k]
0 a k+1,1 a k+1,2 . . . a k+1,l . . . a k+1,n b k+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[k] [k] [k] [k] [k]
0 a 0 a 0 . . . a 0 . . . a 0 b 0
m 1 m 2 m l m n m
1
Lect. univ. dr., Universitatea din Pite¸sti, laurentiu.deaconu@upit.ro
55