Page 42 - MATINF Nr. 13-14

42 C. B˘alc˘au, D. Constantin

Procedˆand analog pentru acest determinant, obt , inem c˘a

x n = 3x n−1 − x n−2 . (3)

Din (2) s , i (3) rezult˘ c˘a
a
t n = 2 (3x n−2 − x n−3 ) − (3x n−3 − x n−4 )

= 6x n−2 − 5x n−3 + x n−4
= 3 (2x n−2 − x n−3 ) − (2x n−3 − x n−4 )

= 3t n−1 − t n−2 , ∀ n ≥ 5.

Astfel demonstrat , ia este ˆıncheiat˘a.

∗
Propozit , ia 2 (Formula explicit˘ a numerelor t n ). Pentru orice n ∈ N avem
a
n
ñÇ √ å n Ç √ å ô
1 3 + 5 3 − 5
t n = √ − .
5 2 2
a
a
a
Demonstrat ,ie. Vom rezolva relat , ia de recurent , ˘ (1). Aceasta este o recurent , ˘ liniar˘ de ordinul
al doilea, avˆand ecuat , ia caracteristic˘a (a se vedea, de exemplu, [1])
2
2
a
r = 3r − 1, adic˘ r − 3r + 1 = 0.
√
3 ± 5
a
Aceasta are r˘ad˘acinile r 1,2 = . Cum r 1 6= r 2 , rezult˘a c˘ t n are forma
2
Ç √ å n Ç √ å n
3 + 5 3 − 5
n n ∗
t n = c 1 r + c 2 r = c 1 + c 2 , ∀ n ∈ N , (4)
1 2
2 2
unde c 1 s , i c 2 sunt constante reale. Pentru a us , ura calculul acestor constante, introducem s , i
termenul t 0 . Atunci t 2 = 3t 1 − t 0 , deci t 0 = 3t 1 − t 2 = 0. Astfel, luˆand n = 0 s , i n = 1 ˆın (4),
obt , inem
√ √
3 + 5 3 − 5
c 1 + c 2 = 0 s , i c 1 · + c 2 · = 1,
2 2
1 1
a
de unde rezult˘ us , or c˘a c 1 = √ s , i c 2 = −√ .
5 5
ˆ
Inlocuind ˆın (4) obt , inem formula din enunt , .
a
Definit , ia 4. S , irul numerelor Fibonacci este s , irul (f n ) definit prin relat ,ia de recurent ,˘
n∈N
f 0 = 0, f 1 = 1 s , i
f n = f n−1 + f n−2 , ∀ n ≥ 2.

∗
Propozit , ia 3 (Leg˘atura dintre numerele t n s , i numerele Fibonacci). Pentru orice n ∈ N
avem
t n = f 2n .

Demonstrat ,ie. Demonstr˘am egalitatea din enunt , prin induct , ie dup˘a n.
Pentru n = 1 avem t 1 = f 2 = 1, iar pentru n = 2 avem t 2 = f 4 = 3.